کره یک شکل هندسی کاملا گرد در فضای سه بعدی مانند توپ است. اگر به محاسبه حجم کره نیاز پیدا کردید، کافی است شعاع آن را پیدا کرده و آن را در معادله V= ⁴⁄₃πr³ به جای r قرار دهید.
محاسبه حجم کره چگونه است؟
 کره از مجموعه نقاطی در فضا تشکیل می‌شود که از یک نقطه ثابت به نام مرکز کره، فاصله یکسانی دارند. این شکل هندسی یکی از ساده‌ترین و پرکاربردترین اشکال سه بعدی است که برای حل برخی از مسائل، به محاسبه حجم آن نیاز پیدا می‌کنیم. برای محاسبه حجم کره شما فقط به شعاع آن و یک معادله ساده ریاضی نیاز دارید. ما در این مطلب روش محاسبه حجم کره را با ذکر مثال به شما آموزش می‌دهیم.


محاسبه حجم کره

برای بدست آوردن حجم کره مراحل زیر را طی کنید.


۱. نوشتن معادله محاسبه حجم کره

حجم کره از معادله V= ⁴⁄₃ π r³ بدست می‌آید. در این معادله V حجم کره و r شعاع آن است.

معادله محاسبه حجم کره

 

۲. پیدا کردن شعاع

اگر شعاع را به شما داده‌اند، می‌توانید به مرحله بعدی بروید، اما در برخی مواقع قطر را می‌دهند. برای بدست آوردن اندازه شعاع از روی قطر، قطر را تقسیم بر ۲ کنید. همچنین اگر مساحت کره را به شما داده باشند، می‌توانید با استفاده از آن شعاع را بدست آورید. برای بدست آوردن شعاع از روی مساحت کره، اندازه مساحت را تقسیم بر ۴π کنید، سپس از آن جذر بگیرید تا شعاع بدست آید.

پیدا کردن شعاع برای محاسبه کردن حجم کره

۳. مکعب شعاع را پیدا کنید

برای بدست آوردن مکعب شعاع آن را سه بار در خودش ضرب کنید و یا با استفاده از یک ماشین حساب آن را به توان ۳ برسانید. برای مثال اگر شعاع کره برابر با ۱ سانتی متر باشد مکعب آن برابر با ۱×۱×۱ یا ۱ سانتی متر مکعب خواهد شد. بعد از انجام این کار باید شعاع را در معادله V= ⁴⁄₃ π r³ قرار دهید، بنابراین برای کره‌ای به شعاع ۱ سانتی‌متر V=⁴⁄₃ π ×۱ خواهد شد. اگر شعاع کره برابر با ۲ سانتی متر بود، باید مکعب آن را پیدا می‌کردید، که برابر با ۲×۲×۲=r³ یا ۸=r³ می‌شود.

پیداکردن مکعب شعاع برای محاسبه حجم کره

۴. مکعب شعاع را در ⁴⁄₃ ضرب کنید

اکنون مقدار r³ را که در معادله جایگذاری کرده اید را در ⁴⁄₃ ضرب کنید. برای کره به شعاع ۱ داریم:  ⁴⁄₃x 1= ⁴⁄₃ و معادله حجم آن برابر با V = ⁴⁄₃ x π x 1 یا V = ⁴⁄₃π خواهد شد.
 

محاسبه حجم کره با استفاده از اندازه شعاع، قطر و مساحت

۵. ضرب کردن در عدد π

آخرین مرحله برای پیدا کردن حجم کره ضرب کردن در عدد π است. شما می‌توانید π را به صورت نماد آن در معادله باقی بگذارید و جواب نهایی را برحسب π بیان کنید، برای کره به شعاع ۱ حجم آن بر حسب π برابر با ⁴⁄₃π خواهد شد. همچنین می‌توانید با استفاده از یک ماشین حساب π را در ⁴⁄₃ ضرب کنید، مقدار π تقریبا برابر ۳/۱۴۱۵۹ است و با ضرب آن در ⁴⁄₃ عدد ۴/۱۸۸۷ بدست می‌آید، این عدد را می‌توان گرد کرد و آن را با ۴/۱۹ تقریب زد.
به یاد داشته باشید که واحد‌های اندازه‌گیری‌تان را بیان کنید، واحد حجم برابر با مکعب واحد طول است. حجم کره‌ای به شعاع ۱ سانتی‌متر برابر با ۴/۱۹ سانتی‌متر مکعب است.

محاسبه حجم کره

فرمول مساحت برخی اشکال هندسی دوبعدی به صورت زیر است:

حجم و مساحت اشکال هندسی

اما در مورد اشکال هندسی سه بعدی و دارای حجم برای بدست آوردن مساحت جانبی و مساحت کل هر شکل، می توان از رسم گسترده آن(یعنی باز کردن آن در فضای دو بعدی) بر روی صفحه و محاسبه مساحت هر یک از سطوح استفاده کرد. 

مثال: با توجه به گسترده ی هر یک از حجم های زیر، مساحت گسترده را بدست آورید. 

حجم و مساحت اشکال هندسی

جواب: شش مربع داریم که مساحت هر کدام برابر است با  25=52  پس مساحت کل برابر است با150= 6*25.

حجم های حاصل از دوران شکل های هندسی 

حجم و مساحت اشکال هندسی

1- کره   

تعریف دایره: مجموعه نقاطی از صفحه است که همه آن نقاط از یک نقطه در همان صفحه به نام مرکز به یک فاصله است. به این اندازه ثابت، شعاع می گویند. 

حجم و مساحت اشکال هندسی

از دوران یک نیم دایره حول قطر آن، یک کره بوجود می آید.

کره، مجموعه نقاطی از فضاست که همه آن نقطه ها از یک نقطه به نام مرکز به یک فاصله ثابت و مشخص هستند. به این اندازه ثابت، شعاع کره می گویند

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم و مساحت کره:

1-حجم کره ای با شعاع R از رابطه زیر بدست می آید: 

حجم و مساحت اشکال هندسی
2- مساحت کره ای با شعاع R از رابطه زیر بدست می آید:
حجم و مساحت اشکال هندسی

2- استوانه

از دوران مستطیل حول اضلاع آن، استوانه بدست می آید. در این صورت قاعده آن به شکل دایره خواهد شد. و شعاع دایره همان شعاع استوانه خواهد بود.

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم استوانه : اگر شعاع استوانه r باشد و بلندی آن h، آنگاه حجم آن برابر خواهد بود با:

حجم و مساحت اشکال هندسی

مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع حجم استوانه = مساحت قاعده × ارتفاع

سطح کل استوانه = سطح دو قاعده + مساحت جانبی ( مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع × پیرامون قاعده )

در شکل روبرو کره را طوری درون استوانه قرار داده ایم که کره کاملاً از بالا و پایین و اطراف بر استوانه مماس شده است. 

در این حالت می گوییم کره در استوانه محاط شده است. استوانه نیز بر کره محیط شده است. 

حجم و مساحت اشکال هندسی

شعاع قاعده استوانه برابر R و ارتفاع آن برابر 2R است. 

در نتیجه 

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم و مساحت اشکال هندسی

 با استفاده از حجم کره و استوانه می توان گفت که حجم استوانه یک و نیم برابر حجم کره است. 

3- مخروط

از دوران مثلث قائم الزاویه حول هر یک از اضلاع قائمه یک مخروط بدست می آید.  

حجم و مساحت اشکال هندسی

حجم مخروط: اگر شعاع قاعده مخروط r باشد و ارتفاع آن h، آنگاه حجم آن برابر خواهد بود با:

حجم و مساحت اشکال هندسی

مثال: یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع قائمه 4 و 15 را حول ضلع قائمه بزرگتر دوران می دهیم. حجم شکل حاصل را بدست آورید.

حجم و مساحت اشکال هندسی

هرم یک چندوجهی است که همه وجه‌ های آن به جز یکی در یک راس مشترکند. ارتفاع  هرم پاره خطی است که از راس هرم بر قاعده آن عمود می‌شود. وجهی از هرم که راس هرم در آن قرار ندارد قاعده و وجه‌های دیگر وجه‌های جانبی نامیده می‌شوند. وجه‌های جانبی همواره به شکل مثلث هستند . به هر یک از مثلث هایی که در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند، وجه جانبی هرم می گویند.

حجم و مساحت اشکال هندسی

هرم منتظم: اگر چندضلعی قاعده یک چندضلعی منتظم بوده و وجه های جانبی با هم همنهشت باشند، هرم را منتظم می گویند.

حجم هرم

حجم هرم با مساحت S و ارتفاع h  برابر است با:

حجم و مساحت اشکال هندسی

مثال: قاعده هرمی مثلث قائم الزاویه با اضلاع قائمه 6و 15 است. اگر حجم هرم برابر 240 باشد ، طول ارتفاع هرم را بیابید.

حجم و مساحت اشکال هندسی

نکته:

مخروط شکلی شبیه هرم منتظم است که قاعده آن به شکل دایره و پای ارتفاع در مرکز دایره است.

حجم و مساحت اشکال هندسی

سخن آخر

شما برای محاسبه حجم کره فقط به شعاع آن و معادله V= ⁴⁄₃ πr³ نیاز دارید. البته در برخی مسائل شعاع را به صورت مستقیم به شما نمی‌دهند. همانطور که در این مطلب خواندید با داشتن مساحت کره و یا قطر کره هم می‌توان شعاع را بدست آورد. در حقیقت کره تجسم سه بعدی از دایره است، اگر تمایل داشتید با فرمول محاسبه مساحت دایره نیز آشنا شوید، توصیه می‌کنیم مطلب آموزش محاسبه محیط دایره را از دست ندهید.